Ölçüleri toplamı 90 derece olan iki açıya tümler açı, 180 derece olan iki açıya ise bütünler açı denir. Geometrik şekil ve bağıntıları doğru kavrayabilmek adına tümler ve bütünler açı hesaplama konu anlatımı, hem ortaokul 6. sınıf matematik müfredatında hem de LGS ve YKS gibi kritik sınavlarda temel bir yere sahiptir.
- Tümler ve bütünler açıların temel tanımlarını ve aralarındaki farkları kavrayacaksınız.
- Komşu tümler ve komşu bütünler açı kavramlarını şekil üzerinde kolayca ayırt edebileceksiniz.
- Bilinmeyen açı değerlerini denklem kurarak veya pratik yöntemlerle hesaplayabileceksiniz.
- Kat ve oran içeren matematiksel tümler ve bütünler açı problemlerini zorlanmadan çözeceksiniz.
- Tümler Açı Mantığı: İki açının ölçüleri toplamı her zaman dik açıya, yani 90°‘ye eşittir.
- Bütünler Açı Mantığı: İki açının ölçüleri toplamı her zaman doğru açıya, yani 180°‘ye eşittir.
- Komşuluk Şartı: İki açının komşu olabilmesi için başlangıç noktalarının ve birer kollarının (ışınlarının) ortak olması gerekir.
- Sabit Fark Kuralı: Bir açının bütünleri, aynı açının tümlerinden her zaman tam 90° daha büyüktür.
Açı Nedir ve Temel Açı Çeşitleri Nelerdir?
Açı, başlangıç noktaları aynı olan iki ışının oluşturduğu geometrik açıklıktır. Açıların büyüklüğü derece (°) birimiyle ölçülür. Açı türlerini tanımak, tümler ve bütünler açı konularını eksiksiz kavramanın ilk adımıdır.
Geometride en sık karşılaştığımız açı türleri şunlardır:
- Dar Açı: Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılardır. Örneğin 45° ve 80° birer dar açıdır.
- Dik Açı: Ölçüsü tam olarak 90° olan açıdır. Tümler açılar birleştiğinde bir dik açı oluşturur.
- Geniş Açı: Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılardır. Örneğin 120° geniş bir açıdır.
- Doğru Açı: Ölçüsü tam olarak 180° olan açıdır. Bütünler açılar birleştiğinde doğru açı meydana gelir.
Açıların Komşuluk Durumu Ne Anlama Gelir?
İki açının komşu olabilmesi üç temel şarta bağlıdır: Köşelerinin ortak olması, birer ışının (kolun) ortak bulunması ve iç bölgelerinin ayrık kalması. Kısacası açılar çakışmamalı, yan yana konumlanmalıdır.
Tümler Açı Nedir ve Nasıl Hesaplanır?
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açı birbirinin tümler açısı olarak adlandırılır. Toplamları bir dik açı oluşturan bu iki dar açı, tümlerlik şartını eksiksiz karşılar. Kosinüs Teoremi Nedir? Kenar ve Açı Hesaplama Örnekleri başlıklı incelememiz de bu geometrik mantığın farklı bir boyutunu ele almaktadır.
Bir $x$ açısının tümlerini hesaplamak oldukça basittir; verilen değeri 90 dereceden çıkarmak yeterlidir.
Formül şu şekildedir: $text{Tümler Açı} = 90^circ – text{Verilen Açı}$ Açı Ölçüleri Konu Anlatımı: Derece, Radyan ve Çevrimler içeriğimiz ise konu bütünlüğünü pekiştiren bir diğer kaynaktır.
Komşu Tümler Açılar
Köşeleri ve birer kolları ortak olan, toplam ölçüleri 90°’yi tamamlayan açılara komşu tümler açılar denir. Bir dik açının içinden geçen bir ışın, o açıyı iki komşu tümler parçaya ayırır.
Soru: Ölçüsü 38° olan bir açının tümleri kaç derecedir?
Çözüm: Tümler açıların toplamı 90° olduğu için hesaplama şu şekilde yapılır:
$90^circ – 38^circ = 52^circ$
Cevap: 38°’lik açının tümleri 52°‘dir.
Bütünler Açı Nedir ve Nasıl Hesaplanır?
Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir. Bu çifti oluşturan açılardan her biri, diğerinin bütünleyeni olarak nitelendirilir.
Verilen bir açının bütünleyenini bulmak son derece basittir. İlgili açıyı 180 dereceden çıkardığımızda aradığımız bütünler açıya ulaşırız. İşlem formülü şu şekildedir:
$$text{Bütünler Açı} = 180^circ – text{Verilen Açı}$$
Komşu Bütünler Açılar
Köşeleri ile birer kolları çakışan ve ölçüleri toplamı 180° eden (yani doğru açı oluşturan) komşu açılar komşu bütünler açılar şeklinde adlandırılır. Sinüslü Alan Formülü Konu Anlatımı: Üçgende Alan Hesaplama başlıklı rehberimiz, açı ilişkilerinin alan hesaplarındaki rolünü kavramak adına faydalı bir kaynak sunmaktadır.
Örnek Problemler ve Çözümleri
📖 Örnek 2: Bütünler Açı Hesaplama
Soru: Ölçüsü 115° olan bir açının bütünleri kaç derecedir?
Çözüm: Bütünler açıların toplamı 180° olduğu için hesaplama şu şekilde yapılır:
$$180^circ – 115^circ = 65^circ$$
Cevap: 115°’lik açının bütünleri 65°’dir.
📖 Örnek 3: Karma Açı Problemi
Soru: Bir açının bütünlerinin ölçüsü, tümlerinin ölçüsünün 3 katına eşittir. Bu açı kaç derecedir?
Çözüm:
Açının ölçüsüne $x$ diyelim.
Tümleri: $90^circ – x$
Bütünleri: $180^circ – x$
Sorudaki bağıntıya göre denklemi kuralım:
$$180 – x = 3 cdot (90 – x)$$
$$180 – x = 270 – 3x$$
$$2x = 90 implies x = 45^circ$$
Cevap: Söz konusu açı 45°’dir.
Sıkça Sorulan Sorular
- MEB Temel Eğitim Genel Müdürlüğü — Ortaokul Matematik Dersi (6. Sınıf) Öğretim Programı ve Ders Kitabı, Temel Geometrik Kavramlar ve Açılar Ünitesi
- TDK Geometri Terimleri Sözlüğü — Tümler ve Bütünler Açı Tanımları
